PENGENLAN MINERAL BIJIH

                                                          PENGENLAN MINERAL BIJIH

      Tekstur tekstur replecement-somatisme

          Diakibatkan oleh suatu mineral menempai/menggantikan tempat dari mineral lain yang sudah ada terlebih dahulu. Proses yang menyebabkan dapat berupa proses hidrotermal, metamorfosis, dan pelapukan.

Scara geometris tekstur ini oleh GRGORIEFF dibagi sebagai berikut:

v  Filiform : penggantian dalam bentuk jaring-jaring vientles halus.

v  Cellular : Hanya terdapat dari sisa pengggantian

v  Shredded : sisa penggantian dalam bentuk ppotongan angular, kadang sisanya cekung.

v  Skeleton Shapped : penggantian yang mengikuti orientasi kristalografi.

v  Zonal : umumnya sebagai hasil dari eksolusi.

v  Dendritic : Mineral tergantikan sepanjang bidang belahan.

v  Cement shapped : Semen intergranular telah tergantikan seecara seelektif, biasanya pada batuan sedimmen.

        Struktur pita dan rhymic layer terdiri atas :

v  Evenly Layerd : Lapisan yang terjadi secara merata dan lurus.

v  Bent Layerd : Lapisan yang menekuk.

v  Konsentris : Lapisan yang berkeliling.

v  Ooilitik dan Konsentris : Berbentuk bulat, terutama padaa hasil sedimentasi tapi dapat juga terjadi akibat kristalisasi idrotermal pada suhu rendah.

v  Porous Granular : Butiran dengan lubang pori di ats batas butir.

      Pengamatan Mineral Bijih

A. Sifat Bijih

      Sifat fisik adalah penampakan secara fisik dari suatu mineral bijih.

1. Bentuk dan habitat

Mineral mineral yang keras cenderung untuk membentuk Kristal yang berkembang dengan baik contohnya adalah pirit, hematite, wolframit, arenopit, cobalit dan magnetit.Mineral yang lunak perkembangan kristalnya kurang baik contohnya kalkopirit, galena, dan tetrahidrit. (Ulva Ria Irfan, 2006). Untuk mendapatkan gambaran yang lebih baik perlu dilakukan etsa terhadap permukaan dibidang poles. Karena bidang poles yang diamati berupa bidang 2 dimensi maka bentuk yang tampak adalah bentuk Kristal yang berpotongan dengan permukaan bidang poles. Istilah istilah untuk menunjukan bentuk dan habitat sama dengan yang dipergunakan dalam mineralogi seperti bentuk euhedral, subhedral, anhedral, acicular, tabular, spheroidal, granular, reticulate, radial, bladed, foliate, konsentris, colloforn, fibrous. (Ulva Ria Irfan, 2006).

2. Cleavage dan fracture

Cleavage atau belahan adalah sifat fisik suatu mineral bijih yang mempunyai kecenderungan untuk membelah atau pecah sepanjang bidang tertentu yang searah dengan kohesi terkecil. Belahan ini pada umunya sejajar dengan permukaan Kristal. (Ulva Ria Irfan, 2006).

Fracture atau pecahan adalah sifat fisik suatu mineral yang mempunyai kecenderungan untuk pecah tidak beraturan (setelah melewati batas batas elastic dan plastisnya). Cleavage dalam bidang poles ditandai dengan satu set atau lebih rekahan parallel baik distinct maupun indistinct. Mineral dapat menunjukan satu sampai tiga set rekahan parallel tergantunng jumlah bidang rekah yang terdapat dalam mineral dan orientasi bidang poles. Contoh pada galena , triangular, pits terjadi akibat tiga arah rekahan yang berbeda. Biasanya terjadi pada belahan kubus, octahedral, rhombohedral dan dodecahedral . Belahan prismatic menghasilkan pola rectangular, segitiga atau diamond-shapped. Belahan pinakoid mengahsilkan suatu set rekahan paralel.(Ulva Ria Irfan, 2006).

3. Kembaran atau twinning

Pada mineral isotrop, kembaran dapat ditunjukkan oleh perubahan orientasi belahan sedangkan pada mineral isotrop dapat juga ditentukan oleh perbedaan warna pada bagian dan posisi tertentu. Untuk mendapatkan bentuk kembaran yang jelas dapat dilakukan etsa. (Ulva Ria Irfan, 2006).

4. Tekstur Bijih

Tekstur bijih adalah hubungan antar mineral dalam suatu bijih. Dari tekstur ini dapat diketahui gambaran awal pembentuk bijih, metamorfosa, lingkungan pengendapan, deformasi, dan pelapukan bijih (Ulva Ria Irfan, 2006).

Tekstur terbagi atas :

Tekstur Primer : terjadi saat pembentukan bijih

Tekstur Sekunder : terjadi setelah pembentukan bijih baik akibat proses placement, pengaruh lingkungan pengendapan, atau deformasi mekanis

5. Kekerasan

Kekerasan dari suatu mineral dapat bervariasi menurut orientasi butiran mineral. (Ulva Ria Irfan, 2006).

Ada 3 jenis kekerasan identifikasi mineral yaitu :

1.      Scratch hardness : dengan cara menggoreskan permukaan mineral dengan jarum baja dibawah pengamatan mikroskopi . kekerasan relative oleh S.B Talmaga dibagi tujuh tingkat , Argentit-Galena-Kalkopirit-Tetrahidrit-Niccolite-Magnetit-Limenit.

2.      Microhardness : menggunakan microhardnesss indenter. Ada dua jenis indenter yaitu Knop dan Vickers. Dengan cara ini mineral dapat ditentukan secara kuantitatif .

3.      Polishing hardness : berkaitan dengan reistentsi mineral terhadap abrasi. Pada saat dipoles , mineral yang lebih lunak akan lebih cepat terkikis daripada mineral yang keras sehingga terlihat reliefnya

lebih tinggi dibawah mikroskopi.

B. Sifat Optik

1. Nikol sejajar

                  Pengamatan sifat-sifat optik tanpa mempengaruhi analisator.

a. Warna

Sebagian besar mineral bijih memiliki kisaran warna putih sampai abu abu dengan perbedaan yang sedikit sekali. Untuk membedakan dibutuhkan banyak latihan . Tetapi mineral mineral dengan perbedaan warna yang sedikit sekali dapat dibedakan jika letaknya berdampingan. Warna warna mineral akan sedikit berbeda tergantung dari jenis mineral asosiasinya . Untuk lebih memunculkan perbedaan warna dapat digunakan medium immersinya. (Ulva Ria Irfan, 2006).

b. Reflektivitas

Reflektivitas sangat tergantung pada perbedaan antara indeks biasnya dengan indeks bias medium (udara, minyak, dll). Untuk mengukur relfektivitas dipergunakan alat microphotoeters dan photoelectric . Mineral mineral transparent tanpa gelap dibawah mikroskop reflexi karena hanya sedikit sekali memantulkan sinar (Ulva Ria Irfan, 2006).

c. Pleokrisme

Untuk menentukan sifat ini dilakukan dengan memutar meja objek mikroskop. Pleokrisme dipengaruhi oleh sifat isometric mineral dan bidang polesnya . Sistem Kristal lain yang isotrop tidak menunjukkan perubahan warna atau kecermelangan selama meja mikroskop diputar maka mineral tersebut tidak memiliki pleokrisme. Jika terjadi perubahan harus dilihat apakah perubahan yang terjadi sangat jelas atau sedikit saja. Pleokrisme pada suatu mineral dapat dibagi menjadi pleokrisme lemah sedang atau kuat. (Ulva Ria Irfan, 2006).

Pleokrisme merupakan fungsi dari indeks bias medium immerse. Semakin besar indeks bias medium semakin kuat pleokrismenya. Pleokrisme juga merupakan fungsi dan orientasi kristalografis. (Ulva Ria Irfan, 2006). Sebagai conto pada Kristal hexagonal atau tetragonal. Bidang yang tegak lurus sumbu C tidak akan menunjukan pleokrisme sedangkan bidang yang sejajar sumbu C akan menunjukan pleokrisme maksimum. (Ulva Ria Irfan, 2006).

2. Nikol silang

              Pengamatan sifat-sifat optik dengan menggunakan isolator.

a. Isotrop / anisotrop

Jika suatu bidang poles diamati dengan manggunakan poliarisator dan anilasator secara bersamaan (nikol silang) dan menunjukan salah satu sifat. (Ulva Ria Irfan, 2006).

         Sifat tersebut antara lain:

1. Tetap gelap selama mikroskop diputar 360°.

2. Sangat lemah teriluminasi (agak gelap benar) tetapi tidakmenunjukan perubahan baik dalam intensitas iluminasi atau warna selama mikroskop diputar 360°. Maka bidang poles mineral tersebut bersifat isotrop sedangkan jika terjadi perubahan warna atau teriluminasi selama meja mikroskop diputar, maka bidang poles tersebut bersifat anisotrop. Sifat anisotrop ini dapat lemah dan kuat tergantung pada refleksitas pada sumbu sumbu optisnya. Setiap mineral dengan sistem kristal isometrik secara teoritis mempunyai sistem kristal isometrik. Karena setiap bidang yang tegak lurus terhadap sumbu optisnya pasti isotrop apapun sistim kristalnya. Hal yang perlu diperhatikan adalah mineral seperti pirit yang isometric dapat menunjukan sifat isotropi pada bidang poles yang tidak terlalu baik.

b. Warna interspensi

             Pada nikol saling mineral anisotrop dapat menunjukan perubahan iluminasi atau perubahan warna (warna interpensi). Pada beberapa mineral sifat ini sangat berguna sebagai petunjuk identifikasi. (Ulva Ria Irfan, 2006).

 Tetapi sifat ini jarang digunakan karena :

1. Warna interferensi hanya akan konstan jika nikol betul betul silang

2. Sulit menentukan istilah standar yang tepat untuk warna yang tampak

3. Warna interferensi yang berbeda untuk tiap mikroskop terutama dari jenis yang lama

4. Sangat diperlukan iluminasi yang konstan untuk hasil yang tepat

c. Refleksi dalam

Beberapa mineral biji yang sedikit transparan membuat sebagian sinar yang jatuh pada permukaannya dapat menembus lebih dalam. Sinar yang menembus tersebut ada yang kembali dipantulkan melalui rekahan atau batas batas butir Kristal . hasilnya adalah pancaran cahaya yang menyebar dari dalam Kristal dapat juga berupa satu lebih pancaran cahaya. (Ulva Ria Irfan, 2006). Sifat ini sangat berguna untuk identifikasi karena hanya mineral mineral tertentu yang menunjukannya. Refleksi dalam snagat jelas pada nikol silang dan pencahayaan yang kuat. Pada butiran yang halus sifat ini sangat sulit terlihat . Komposisi kimia juga mempengaruhi sifat ini seperti Sphalerit dnegan kandungan besi rendah akan menunjukan sifat dalam yang jelas. (Ulva Ria Irfan, 2006).

    d. Tekstur Bijih

Tekstur bijih adalah hubungan antara mineral dalam suatu endapan bijih . Dalam hal ini dapat diketahui gambaran pembentukan awal bijih, metamorfosa, lingkungan pengendapan, kemungkinan pengolahannya , deformasi dan pelapukan dari bijih. Hal yang perlu diperhatikan dalam pengamatan tekstur bijiih banyak tekstur yang mempunyai kemiripan penampakan tapi proses pembentukannya mungkin saja berbeda. (Ulva Ria Irfan, 2006).

Untuk memperjelas tekstur bijih yang terbentuk akibat dari proses hidroternal maka akan diberikan tahapan yang terjadi selama pembentukan deposit hidroternal sebagai berikut :

a)     Masuknya larutan hidronternal bersuhu tinggi kedalam lingkungan yang lebih rendah sehingga terjadi presipitasi dan terbentuknya mineral awal.

b)    Puncak dari pengaruh hal tersebut terhadap pasukan mineral dan pemanasan akan menyebablan asosiasi mineral yang terbentuk lebih awal dapat terubah akibat penambahan unsure lain atau dapat juga terjadi asosiasi mineral baru yang lebih stabil pada suhu yang lebih tinggi

c)     Penurunan aktvitas mineral akibat akan perbedaan komposisi kimia dari larutan hidrotermal , mineral mineral yang terbentuk pada tahap pertama akan kedua akan ikut berubah. Selain itu itu unsure unsure yang belum terbentuk pada tahap sebelumnya akan mengalami presipitasi

Surat perjanjian

SURAT PERJANJIAN JUAL BELI TANAH

1.       Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

·         Nama                      : ………………………………………………………………..

·         Tempat, Tgl Lahir     : ……………………………………………………………..…

·         Pekerjaan                : ………………………………………………………………

·         Alamat                    : ………………………………………………………….…..

·         Nomor KTP             : ………………………………………………………………

Dalam hal ini bertindak atas nama diri pribadi yang selanjutnya disebut sebagai Pihak Pertama (Penjual)

·         Nama                      : ………………………………………………………………..

·         Tempat, Tgl Lahir     : ……………………………………………….……………….

·         Pekerjaan                : …………………………………………………..………….

·         Alamat                    : …………………………………………………..……………

·         Nomor KTP              : ………………………………………………………..………

Dalam hal ini bertindak atas nama diri pribadi yang selanjutnya disebut sebagai Pihak Kedua (Pembeli)

Pada hari ini ………………… tanggal …… ( ………………………….. ) bulan …………………. Tahun ……… ( …………………………..………………….. ), Pihak pertama dengan ini berjanji untuk menyatakan dan mengikatkan diri untuk menjual kepada pihak kedua dan pihak kedua juga berjanji menyatakan serta mengikatkan diri untuk membeli dari pihak pertama berupa: Sebidang Tanah dengan Hak ………..…………………………………… yang diuraikan dalam nomor sertifikat tanah: …………………………………, yang berlokasi di alamat lengkap …………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………… , dengan ukuran tanah: panjang ……..m ( …………………………………………….meter), lebar ……..m ( ……………………………………………………… meter), luas tanah m 2 ………. ( ……………………………………………………………… meter persegi), dan untuk selanjutnya disebut Tanah. Dengan batas-batas tanah adalah sebagai berikut:

• sebelah Barat : berbatasan dengan ……………………………………………………….
• sebelah Timur : berbatasan dengan ………………………………………………………
• sebelah Utara : berbatasan dengan ……………………………………………………….
• sebelah Selatan : berbatasan dengan ……………………………………………………

Demikian surat perjanjian jual beli tanah ini dibuat dalam 2 (dua) rangka yang bermaterai cukup dan memiliki kekuatan hukum yang sama. Setelah dibaca, dipahami dan dimengerti  maka, para pihak telah sepakat untuk menandatangai Surat Perjanjian ini dalam keadaan sehat dan tanpa ada unsur paksaan dari pihak manapun.

                       Epeesi       mei  2017

Pihak Pertama ( ...................................... )

Pihak Kedua ( ...................................... )

Saksi-saksi :

1.      Dari Pihak Pertama (Penjual)

Nama               :

Alamat            :

(……………………………………)

2.      Dari Pihak Kedua (Pembeli)

Nama               :

Alamat            :

(……………………………………)

(INTERPOLASI AND CURVE FITTING)

INTERPOLATIONAND CURVE FITTING

A.      TUJUAN

Tujuan dari praktikum kali ini adalah sebagai berikut:

1.      Mampu menerapkan metode Newton untuk menetukan koefisien polinomial dan evaluasi polinomial.

2.      Mampu menerapkan metode Newton untuk Neville polynomial.

B.       LANDASAN TEORI

Matlab (atau Matrix Laboratorium) adalah software komputer yang mengandung numerikal dan bahasa pemrograman komputer. Software ini biasanya diaplikasikan pada ilmu komputasi, pemrograman, dan membantu pengerjaan pada bidang matematika.

Matlab dibuat bertujuan untuk mempermudah akses untuk perangkat lunak matrix yang di kembangkan oleh linpack (sistem paket linear) dan eispack (sistem paket eigen). Matlab adalah bahasa kinerja tinggi untuk komputasi teknis. Ini mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan lingkungan pemrograman. Selanjutnya, matlab adalah lingkungan bahasa pemrograman modern: memiliki struktur data yang canggih , berisi built-in editing dan alat debugging, dan mendukung pemrograman berorientasi obyek.faktor-faktor ini membuat matlab aplikasi yang sangat baik untuk pengajaran dan penelitian (Ameliaadz 2013).

Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil(Bismo Setijo, 1999).

Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.

Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ '(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x₀. Hampiran yang lebih baik x₁ adalah

Deskripsi metode Newton

Ilustrasi salah satu iterasi metode Newton (fungsi ƒ ditunjukkan dengan warna biru dan garis singgung dalam warna merah). Kita melihat bahwa x_n+1 adalah hampiran yang lebih baik daripada x_n untuk akar x dari fungsi f.

Gagasan metode ini adalah sebagai berikut: kita memulai dengan tebakan awal yang cukup dekat terhadap akar yang sebenarnya, kemudian fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya (yang dapat dihitung dengan alat-alat kalkulus, dan kita dapat menghitung perpotongan garis ini dengan sumbu-x (yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan aljabar dasar). Perpotongan dengan sumbu-x ini biasanya merupakan hampiran yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal, dan metode ini dapat diiterasi.

Misalkan ƒ : [a, b] → R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk menghampiri akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki hampiran mutakhir x_n. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih baik, x_n+1 dengan merujuk pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi turunan pada suatu titik bahwa itu adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:

Di sini, f ' melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita mendapatkan

Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang x₀. Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa ƒ'(x₀) ≠ 0(Anonim).

C.      ALGORITMA DAN FLOWCHART

3.1.            Algoritma

A.    Function NewtonPoly

Algoritma pada function NewtonPoly adalah sebagai berikut:

a.       Menginput nilai xData dan yData dimana

xData = [0.15; 2.3; 3.15; 4.85; 6.25; 7.95;]

yData = [4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909]

b.      Menghitung nilai

n=length(xData)

p=a(n)   

c. Menghitung matriks k dengan eliminasi NewtonPoly

k = 1:n-1

d.      Menghitung nilai p

p = a(n-k) + (x - xData(n-k))*p

e.       Menampilkan hasil dari nilai p

B.     Function NewtonCoeff

Algoritma pada function NewtonCoeff adalah sebagai berikut:

a.       Menginput nilai xData dan yData dimana

xData = [0.15; 2.3; 3.15; 4.85; 6.25; 7.95;]

yData = [4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909]

b.      Menghitung nilai

n = length(xData)

a = yData

c.       Menghitung matriks k dengan eliminasi NewtonCoeff

k =2:n

d.      Menghitung nilai a

a(k:n)=(a(k:n) - a(k-1))./(xData(k:n) - xData(k-1))

e.       Menampilkan hasil dari nilai a

C.    Function Neville

Algoritma pada function Neville adalah sebagai berikut:

a.       Menginput nilai xData dan yData dimana

xData = [-1.2;0.3;1.1]

yData = [-5.76;-5.61;-3.69]

b.      Menghitung nilai

n = length(xData)

y = yData

c.       Menghitung matriks k dengan eliminasi Neville

k =2:n

d.      Menghitung nilai yInterp

y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...

              + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...

              ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n))

e.       Menampilkan hasil dari nilai yInterp

3.2.            Flowchart

      Flowchart NewtonPoly

START

Input nilai xData =[0.15; 2.3; 3.15; 4.85; 6.25; 7.95;] yData =[4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909]

n = length(xData) p = a(n)

p = a(n-k) + (x - xData(n-k))*p

k = 1:n-1

p

k

STOP

 

      Flowchart NewtonCoeff

START

Input nilai xData =[0.15; 2.3; 3.15; 4.85; 6.25; 7.95;] yData =[4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909]

n = length(xData) a = yData

a(k:n) = (a(k:n) - a(k-1))./(xData(k:n) - xData(k-1))

k =2:n

a

k

STOP

 

      Flowchart Neville

START

STOP

yInterp

yInterp = y(1)

k

y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...               + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...               ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n))

k = 1:n-1

n = length(xData) y = yData

Input nilai yData = [-1.2;0.3;1.1] xData = [-5.76;-5.61;-3.69]

 

D.      HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1.  Hasil

Nomor 1

·                         Menggunakan Neville’s method

function yInterp = neville(xData,yData,x)

% Neville's polynominal interpolation;

% return the value of the interpolant at x.

% USAGE: yInterp = neville(xData,yData,x)

% xData = x-coordinates of data points.

% yData = y-coordinates of data points.

x=0;

yData = [-1.2;0.3;1.1]';

xData = [-5.76;-5.61;-3.69]';

n = length(xData);

y = yData;

for k = 1:n-1

    y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...

              + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...

              ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n));

end

yInterp = y(1);

ans =

  -93.2000

Published with MATLAB® 7.6

·         Menggunakan eliminasi Lagrange’s method

x1=0;

xData = [-1.2;0.3;1.1];

yData = [-5.76;-5.61;-3.69];

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    ir=0;

    for ir=ir+1:n

        if (ir==i)

            ir=i+1;

        elseif (ir~=i)

            ih=ih*((x1-xData(ir))/(xData(i)-xData(ir)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

   -6.0000

Published with MATLAB® 7.6

Nomor2

Orde 3

x1=0;

xData = [0;0.5;1;1.5];

yData = [1.8421;2.4694;2.4921;1.9047];

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    ir=0;

    for ir=ir+1:n

        if (ir==i)

            ir=i+1;

        elseif (ir~=i)

            ih=ih*((x1-xData(ir))/(xData(i)-xData(ir)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    1.8421

Published with MATLAB® 7.6

Orde 4

x1=0;

xData = [0;0.5;1;1.5;2];

yData = [1.8421;2.4694;2.4921;1.9047;0.8509];

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    ir=0;

    for ir=ir+1:n

        if (ir==i)

            ir=i+1;

        elseif (ir~=i)

            ih=ih*((x1-xData(ir))/(xData(i)-xData(ir)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    1.8421

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 3

function yInterp = neville(xData,yData,x)

% Neville's polynominal interpolation;

% return the value of the interpolant at x.

% USAGE: yInterp = neville(xData,yData,x)

% xData = x-coordinates of data points.

% yData = y-coordinates of data points.

x=0.7679;

xData = [0;0.5;1;1.5]';

yData = [1.8421;2.4694;2.4921;1.9047]';

n = length(xData);

y = yData;

for k = 1:n-1

    y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...

              + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...

              ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n));

end

yInterp = y(1);

ans =

    2.5571

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 4

function yInterp = neville(xData,yData,x)

% Neville's polynominal interpolation;

% return the value of the interpolant at x.

% USAGE: yInterp = neville(xData,yData,x)

% xData = x-coordinates of data points.

% yData = y-coordinates of data points.

x=pi/4;

xData = [0;0.5;1;1.5;2]';

yData = [-1.00;1.75;4.00;5.75;7.00]';

n = length(xData);

y = yData;

for k = 1:n-1

    y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...

              + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...

              ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n));

end

yInterp = y(1);

ans =

    3.0955

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 5

x1=pi/2;

xData = [0;0.5;1;1.5;2];

yData = [-0.7854;0.6529;1.7390;2.2071;1.9425];

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    in=0;

    for in=in+1:n

        if (in==i)

            in=i+1;

        elseif (in~=i)

            ih=ih*((x1-xData(in))/(xData(i)-xData(in)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    2.2149

·         Dengan nilai pi/4

x1=pi/4;

xData = [0;0.5;1;1.5;2];

yData = [-0.7854;0.6529;1.7390;2.2071;1.9425];

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    in=0;

    for in=in+1:n

        if (in==i)

            in=i+1;

        elseif (in~=i)

            ih=ih*((x1-xData(in))/(xData(i)-xData(in)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

   -4.3061

·         
Published with MATLAB® 7.6

Nomor 6

xData = [-2 1 4 -1 3 -4]';

yData = [-1 2 59 4 24 -53]';

n=length(xData);

dy=[xData yData];

for hik=3:n+1

    ma=hik-3;

    for ma=ma+2:n

        dy(ma,hik)=(dy(ma,hik-1)-dy(hik-2,hik-1))/(dy(ma,1)-dy(hik-2,1));

        dyHasil=dy;

    end

end

display(dyHasil);

dyHasil =

    -2    -1     0     0     0     0     0

     1     2     1     0     0     0     0

     4    59    10     3     0     0     0

    -1     4     5    -2     1     0     0

     3    24     5     2     1     0     0

    -4   -53    26    -5     1     0     0

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 7

xData = [-3;2;-1;3;1]';

yData = [0;5;-4;12;0]';

a = newtonCoeff(xData,yData);

'     x       yInterp    yExact'

for x = 0: 0.5: 8

    y = newtonPoly(a,xData,x);

    yExact = 4.8*cos(pi*x/20);

    fprintf('%10.5f',x,y,yExact)

    fprintf('\n')

end

ans =

     x       yInterp    yExact

   0.00000  -3.00000   4.80000

   0.50000  -1.75000   4.78520

   1.00000   0.00000   4.74090

   1.50000   2.25000   4.66738

   2.00000   5.00000   4.56507

   2.50000   8.25000   4.43462

   3.00000  12.00000   4.27683

   3.50000  16.25000   4.09267

   4.00000  21.00000   3.88328

   4.50000  26.25000   3.64995

   5.00000  32.00000   3.39411

   5.50000  38.25000   3.11735

   6.00000  45.00000   2.82137

   6.50000  52.25000   2.50799

   7.00000  60.00000   2.17915

   7.50000  68.25000   1.83688

   8.00000  77.00000   1.48328

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 8

function yInterp = neville(xData,yData,x)

% Neville's polynominal interpolation;

% return the value of the interpolant at x.

% USAGE: yInterp = neville(xData,yData,x)

% xData = x-coordinates of data points.

% yData = y-coordinates of data points.

x=0;

yData = [-1;1;3]';

xData = [17;-7;-15]';

n = length(xData);

y = yData;

for k = 1:n-1

    y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...

              + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...

              ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n));

end

yInterp = y(1);

ans =

   -0.2031

Nomor 9

x1 = 1;

xData = [0;3;6]';

yData = [1.225;0.905;0.652]';

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    in=0;

    for in=in+1:n

        if (in==i)

            in=i+1;

        elseif (in~=i)

            ih=ih*((x1-xData(in))/(xData(i)-xData(in)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    1.1109

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 14

function yInterp = neville(xData,yData,x)

% Neville's polynominal interpolation;

% return the value of the interpolant at x.

% USAGE: yInterp = neville(xData,yData,x)

% xData = x-coordinates of data points.

% yData = y-coordinates of data points.

x=1.1;

% xData = [-2.0;-0.1;-1.5;0.5]';

% yData = [2.2796;1.0025;1.6467;1.0635]';

xData = [-0.6;2.2;1.0;1.8]';

yData = [1.0920;2.6291;1.2661;1.9896]';

n = length(xData);

y = yData;

for k = 1:n-1

    y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)...

              + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))...

              ./(xData(1:n-k) - xData(k+1:n));

end

yInterp = y(1);

ans =

    1.3228

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 15

function cpInterp = neville(tData,cpData,t)

% Neville's polynominal interpolation;

% return the value of the interpolant at x.

% USAGE: yInterp = neville(xData,yData,x)

% xData = x-coordinates of data points.

% yData = y-coordinates of data points.

t=200;

tData = [-250;-200;-100;0;100;300]';

cpData = [0.0163;0.318;0.699;0.870;0.941;1.04]';

n = length(tData);

cp = cpData;

for k = 1:n-1

    cp(1:n-k) = ((t - tData(k+1:n)).*cp(1:n-k)...

              + (tData(1:n-k) - t).*cp(2:n-k+1))...

              ./(tData(1:n-k) - tData(k+1:n));

end

cpInterp = cp(1);

ans =

    0.9933

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 16

x1=0.46;

xData = [0;0.0204;0.1055;0.241;0.582;0.712;0.981]';

yData = [0.385;1.04;1.79;2.63;4.39;4.99;5.27]';

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    is=0;

    for is=is+1:n

        if (is==i)

            is=i+1;

        elseif (is~=i)

            ih=ih*((x1-xData(is))/(xData(i)-xData(is)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    4.8785

Published with MATLAB® 7.6

Nomor19

x1=90;

xData = [0;21.1;37.8;54.4;71.1;87.8;100]';

yData = [1.79;1.13;0.696;0.519;0.338;0.321;0.296]';

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    in=0;

    for in=in+1:n

        if (in==i)

            in=i+1;

            ih=ih*((x1-xData(in))/(xData(i)-xData(in)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    0.3334

Published with MATLAB® 7.6

Nomor 20

x1=10.5;

xData = [1;1.525;3.050;4.755;6.10;7.625;9.150]';

yData = [1;0.8617;0.738;0.6292;0.5328;0.4481;0.3741]';

n=length(xData);

for i=1:n

    ih=1;

    in=0;

    for in=in+1:n

        if (in==i)

            in=i+1;

        elseif (in~=i)

            ih=ih*((x1-xData(in))/(xData(i)-xData(in)));

        end

    end

    y(i)=ih*yData(i);

    yHasil=sum(y);

end

display(yHasil);

yHasil =

    0.4818

Published with MATLAB® 7.6

4.2 Pembahasan

Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic).Beberapa definisi metode numerik dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik  adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika. Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi.

Polinomial Newton adalah polinom interpolasi untuk kumpulan titik data tertentu dalam bentuk Newton. Polinomial Newton kadang-kadang disebut perbedaan interpolasi polinomial Newton, karena koefisien polinomial dihitung dengan menggunakan perbedaan yang terbagi. Keakuratan interpolasi polinomial bergantung pada seberapa dekat titik interpolasi ke tengah nilai x dari himpunan titik yang digunakan. Jelas, karena poin baru ditambahkan di salah satu ujungnya, kelas menengah itu semakin jauh dan jauh dari titik data pertama. Oleh karena itu, jika tidak diketahui berapa banyak poin yang akan dibutuhkan untuk keakuratan yang diinginkan, nilai tengah x mungkin jauh dari tempat interpolasi selesai.

Praktikum yang ke dua yang berjudul Interpolation And Curve Fitting, dimana function yang digunakan yaitu metode Lagrange, NewtonPoly, Function NewtonCoeff, dan function Neville. Pada soal nomor satu menggunakan metode Neville’s method dan metode Lagrange dimana hal yang pertama  dilakukan yaitu menginput nilai Neville’s method  dimana nilai yData = [-1.2;0.3;1.1]'; dan  xData = [-5.76;-5.61;-3.69]'; selanjutnya di disimpan lalu di run sehinga mendapatkan nilai ans =-93.2000 selanjutnya pada metode Lagrange’s method  dimana x1=0; xData= [1.2 ; 0. 3 ;1. 1] dan  yData= [5.76; 5.61;-3; 69].  selanjutnya di disimpan lalu di run sehinga mendapatkan yHasil =-6.0000.

Selanjutnya  percobaan kedua kami menggunakan metode NewtonPoly dimana cara yang digunakan yaitu terlebih dahulu menginput nilai xData =[0.15; 2.3; 3.15; 4.85;   6.25; 7.95;], yData =[4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909], kemudian menghitung nilai n=length kemudian menghitung nilai k hingga habis atau biasa yang disebut dengan proses pengulangan. Kemudian menampilkan output atau hasil.

Analisis metode Numerik pada Polynomial Newton seperti pada problem set nomor 6 cara yang dilakukan yaitu terlebih dahulu menginput matriks  xData = [-2 1 4 -1 3 -4]'; yData = [-1 2 59 4 24 -53]'; kemudian menghitug nilai n=length  (xData), setelah itu memasukkan rumus dy(ma,hik)=(dy(ma,hik-1)-dy(hik-2,hik-1))/(dy(ma,1)-dy(hik-2,1))  kemudian RUN untuk mendapakan yhasil.

Selajutnya metode Neville digunakan pada nomor  3 dimana pertama yang dilakukan yaitu dengan memasukkan nilai x=0.7679; xData = [0;0.5;1;1.5]'; yData = [1.8421;2.4694;2.4921;1.9047]'; kemudian menghitung n=length (xData), untuk mendapatkan nilai y masukkan rumus  y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k) + (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))/(xData(1:n-k) - xData(k+1:n));, kemudian RUN untuk mendapatkan yInterp.

Untuk menghitung function NewtonCoeff yang pertma dilakukan yaitu menginput nilai Input nilai xData =[0.15; 2.3; 3.15; 4.85; 6.25; 7.95;]yData =[4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909], kemudian menghitung n = length(xData), kemudian menghitung nilai Menghitung nilai a(k:n)=(a(k:n) - a(k-1))./(xData(k:n) - xData(k-1)). Untuk Menampilkan hasil dari nilai a .maka klik RUN.

E.       PENUTUP

5.1 Kesimpulan

        Kesimpulan pada praktikum kali ini adalah sebagai berikut :

1.Dalam menentukan koefisien polinomial dan evaluasi polinomial dengan menggunakan metode newton terdiri atas metode Lagrange, Polynomial Newton, newtonPoly dan newtonCoeff dimana dari semua metode ini memiliki program yang berbeda yang diterapkan pada problem sheet 3.1 pada nomor 1(a), 2 , 5, 9, 15, 16, 19 dan 20 untuk metode lagrange dan nomor  6 dan 7 dengan menggunakan metode polynomial newton.

2.Metode Newton untuk Neville polynomial diterapkan pada tugas nomor 1(b), 3, 4, 8, dan 14 dengan nilai x yang berbeda.

5.2 Saran

Saran saya pada praktikum ini yaitu sebaiknya pelaksanaan praktikum lebih diperjelas lagi karena jika kita hanya diberi program saja, itu tidak akan dimengerti  secara baik.

REFERENSI :

Ameliaadz 2013.http://ameliaadz.blogspot.co.id/2013/03/ pengertian -matlab.ht ml. Diakses pada tanggal 16 April 2017. Pukul 22.13 WITA.

Anonim. http://wikipedia.com/metode-newton. Diakses pada tanggal 16 April 201 7. Pukul 22.13 WITA.

Bismo, Setijo. 1999. Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik. JurusanTGP-FT UI. Jakarta.